terça-feira, 28 de abril de 2009

Critérios de Divisibilidade- Alunos do 6º Ano da Escola Municipal Moema Tinoco

Divisibilidade de números

* Definição

Em diversas situações é preciso saber se um número natural (N) é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da operação, apenas para ter a certeza de que realmente os números são divisíveis entre si.

Desta forma podemos definir que o divisor de um número inteiro B é qualquer número inteiro C de tal forma que B = C x N para um número inteiro N qualquer.

Então, é possível indicar o conjunto dos números divisores de um número inteiro B por:

- Quando C é um divisor de N se diz que N é divisível por C.

- O número zero (0) não pode ser divisor de qualquer número.

- O menor divisor de um número inteiro C qualquer é 1.

- O maior divisor de um número inteiro N qualquer é |N|.

- O número 1 é divisor de todos os números inteiros. O número 1 é o divisor universal.

Aqui serão usados exemplos de algumas regras mais conhecidas como critérios de divisibilidade, tais como: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 17.

* Critérios de divisibilidade

Abaixo serão listados alguns critérios de divisibilidade mais comuns, bem como exemplos práticos de fixação.

- Divisão por 2

Um certo número é divisível por 2, sempre que o algarismo das unidades forem os números (0,2,4,6 ou 8).

Em resumo: quando o número termina com os números (0,2,4,6,8).

Exemplos de fixação:

O número 410 >>>> é divisível por 2, pois termina em 0, resultado = 205

O número 512 >>>> é divisível por 2, pois termina em 2, resultado = 256

O número 354 >>>> é divisível por 2, pois termina em 4, resultado = 177

O número 786 >>>> é divisível por 2, pois termina em 6, resultado = 393

O número 188 >>>> é divisível por 2, pois termina em 8, resultado = 94

- Divisão por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma total dos seus algarismos também for divisível por 3.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 3.

Exemplos de fixação:

O número 573 >>> soma-se ( 5 + 7 + 3 = 15, que é divisível por 3), então 573÷3 = 191

O número 972 >>> soma-se ( 9 + 7 + 2 = 18, que é divisível por 3), então 972÷3 = 324

O número 10008 >>> soma-se ( 1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9, que é divisível por 3),

então 10008÷3 = 3336

- Divisão por 4

Um número qualquer é considerado divisível por 4, quando a soma dos seus dois últimos algarismos forma um número divisível por 4.

Em resumo: A soma dos dois últimos números deve ser divisível por 4.

Exemplos de fixação:

O número 6596 >>> os dois últimos algarismos 96 é divisível por 4, resultado 6596÷4 = 1649

O número 7844 >>> os dois últimos algarismos 44 é divisível por 4, resultado 7844÷4 = 1961

O número 1556 >>> os dois últimos algarismos 56 é divisível por 4, resultado 1556÷4 = 389

- Divisão por 5

Um número é divisível por 5, todas as vezes que o algarismo das unidades numéricas forem iguais a 0 ou 5.

Em resumo: Todas as vezes que o número terminar com 0 ou 5.

Exemplos de fixação:

O número 1250 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 1250÷5 = 250

O número 5555 >>>> tem sua terminação em 5, resultado 5555÷5 = 1111

O número 3650 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 3650÷5 = 730

- Divisão por 6

Um número pode ser considerado divisível por 6, quando este for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Em resumo: O número tem que ser divisível pelo número 2 e 3.

Exemplos de fixação:

O número 36 >>>> temos 36÷2 = 18 e 36÷3 = 12, assim o resultado 36÷6 = 6

O número 72 >>>> temos 72÷2 = 36 e 72÷3 = 24, assim o resultado 72÷6 = 12

O número 84 >>>> temos 84÷2 = 42 e 84÷3 = 28, assim o resultado 84÷6 = 14

- Divisão por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.

Em resumo: Se pega o último algarismo e calcula o seu dobro, diminui este resultado do restante da formação do número.

Exemplos de fixação:

O número 819 >>>> temos 9 x 2 = 18, 81 – 18 = 63 (que é divisível por 7), assim o resultado de 819÷7 = 63

O número 784 >>>> temos 4 x 2 = 8, 78 – 8 = 70 (que é divisível por 7), assim o resultado de 784÷7 = 112

O número 903 >>>> temos 3 x 2 = 6, 90 – 6 = 84 (que é divisível por 7), assim o resultado de 903÷7 = 129

- Divisão por 8

Um certo número é divisível por 8 quando a formação dos seus 03 últimos algarismos formarem um número que seja divisível por 8.

Em resumo: Os 03 últimos números tem que ser divisível por 8.

Exemplos de fixação:

O número 1960 >>>> temos 960÷8 = 120, assim o resultado de 1960÷8 = 245

O número 1400 >>>> temos 400÷8 = 50, assim o resultado de 1400÷8 = 175

- Divisão por 9

Um número é divisível por 9, quando a soma absoluta dos números que o compõem é também divisível por 9.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 9.

Exemplos de fixação:

O número 5463 >>>> temos (5 + 4 + 6 + 3 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 5463÷9 = 607

O número 2259 >>>> temos (2 + 2 + 5 + 9 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 2259÷9 = 251

- Divisão por 10, 100, 1000, 10000 e sucessivamente

Um número é divisível por 10, 1000 ou 10000 ou tantos “ 0” quantos forem a direita, quando o número tiver sua terminação em “ 0” com suas quantidades respectivas de “ 0”.

Em resumo: O número para ser divisível por “10,100 e etc.”, precisa terminar em “ 0”, com suas quantidades respectivas à direita.

Exemplos de fixação:

O número 100 >>>> termina em “0” é divisível por 10 e por 100, o resultado então fica 100÷10=10, 100÷100=1

O número 1000 >>>> termina em “0” é divisível por 10, 100 e por 1000, o resultado então fica 1000÷10 = 100, 1000÷100 = 10, 1000÷1000 = 1

- Divisão por 11

Um número é divisível por 11, quando a soma absoluta dos algarismos de ordem impar e de ordem par, a partir da direita para a esquerda tiver como diferença o número 11.

Em resumo: Soma-se o número em ordem alternativa da direita para a esquerda e a diferença deve ser 11.

Exemplos de fixação:

O número 14927 ( 1ª soma: 7 + 9 + 1 = 17, 2ª soma : 2 + 4 = 6, então 17 – 6 = 11), assim o resultado 14927÷11 = 1357

O número 1727 ( 1ª soma: 7 + 7 = 14, 2ª soma: 2 + 1 = 3, então 14 – 3 = 11), assim o resultado 1727÷11 = 157

- Divisão por 17

Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do ultimo algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17.

Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.

O número 19074 >>>> ( 4 x 5 = 20, 1907 – 20 = 1887, 7 x 5 = 35, 188 – 35 = 153, 3 x 5 = 15, 15 -15 = 0), assim 19074÷17=1122

O número 221 >>>> ( 1 x 5 = 5, 22 – 5 = 17), assim 221÷17=13

O número 238 >>>> ( 8 x 5 = 40, 23 – 40 = -17), apesar de ser negativo é divisível por 17, assim 238÷17=14.

Charles Darwin em seus estudos disse que o homem teria parentesco com o macaco, depois dessa afirmação conseguiu admiração e respeito. na contra mão da história, outro homem chamado John Napier, realizará uma outra descoberta não no campo da biologia, mas da matemática. Criou os logaritmos e queria expressar números como produto de outros números como por exemplo 9, que é igual a 3x3 ou 3 2

Mais de fato Napier queria descobrir qual seria uma equação do tipo 2 r= 5, concluiu pois, que o número não era inteiro, concluindo que necessitava de uma nova interpretação ao significado de uma base elevada a um expoente.

Ele descobriu a seguinte forma Log 2 16= 4 e 3 9= 2, logo após essa descoberta começou-se a calcular logaritmos de vários números. Inclusive log 2 5= y, que é uma propriedade do logaritmo que correlaciona Darwin e Napier, ou seja, biologia e matemática.

Napier nunca imaginou nenhum parentesco entre o homem e o macaco, elel apenas conseguiu dizer com números o que Darwin disse com palavras a cerca de trezentos anos atrás: macaco log homem/macaco= homem.

Esse texto é de autoria do aluno do 3º Ano do Ensino Médio da Escola Estadual Liliosa de Paiva Leite e co autoria da Profº Elaine Cristina Maranhão

A invenção do Número!!!!

A invenção do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa responsável por ela. Na verdade, o número surgiu da necessidade das pessoas de contar objetos e animais.
Durante a pré-história os homens utilizaram pedras, nós de cordas e os próprios dedos para contar.
Para o homem primitivo o número cinco por exemplo estva sempre ligado há uma coisa conreta. Cinco dedos, cinco vasos, etc. Com os avanços que marcaram a pré história, a quantidade de objetos de uma coleção passou a ser representada por desenhos(símbolos). Eles foram criados por estudiosos do antigo Egito para realizar cálculos rápidos.esse fato fui fundamental para o desenvolvimento da matemática.
Depois dos egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Por volta do século III a.C., começou a se formar um sistema numérico.

Texto redigido pelas alunas do 2º ano A do Ensino Médio da Escola Estadual Liliosa de Paiva leite: Gleicielly Lima, Laís Márica Ferreira Leite e Jéssica Oliveira.

segunda-feira, 27 de abril de 2009

Matemática e Economia, o que há em comum...

Essas duas ciências podem não ser as paixões nacionais, contudo são minhas paixões.Começo citando um conceito básico do que seja economia , que é considerada uma Ciência Social que estuda a maneira pela qual os homens decidem empregar recursos escassos, a fim de produzir diferentes bens e serviços e atender às necessidades de consumo. Segundo palavras do professor Paul Samuelson: “Economia é a Ciência Social que estuda a administração de recursos escassos entre usos alternativos e fins competitivos”. A ciência econômica, como qualquer ciência, utilizará a observação, formulação de hipóteses e construção de teorias para explicar a realidade. Está relacionada a outras áreas do conhecimento como matemática, estatística, história, geografia e sociologia.
Já a matemática Segundo a Wikpédia: vem do grego máthema: ciência, conhecimento, aprendizagem; mathematikos: apreciador do conhecimento é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. A matemática que conhecemos e usamos atualmente, não pode ser conceituada de forma breve, como as suposições de respostas citadas anteriormente. A cerca de 500 a.C., a matemática era baseada somente na aritmética. Entre 500 a.C. e 300 d.C. a matemática teve um pequeno desenvolvimento além do estudo dos números. Foram os matemáticos da antiga Grécia que uniram a matemática à geometria. Agora, os números podiam ser observados de maneira prática, como medidas de comprimento, além de que, os gregos observaram medidas as quais não correspondiam seus números (os irracionais).
Depois do apoio dos gregos para com a matemática, não podemos citar mudanças até meados do século XVII, a matemática começa a explicar muitos fenômenos e reações. Podemos dizer que tem início a matemática do movimento e da mudança. Agora não precisamos apenas usar os números para contagem ou descrição das formas geométricas. Podemos explicar fenômenos naturais, movimento dos planetas e a queda dos corpos, fluxo de líquidos, expansão de gases, o magnetismo e a eletricidade (quem ainda não assistiu De volta para o futuro?), que tal saber mais sobre o crescimento de plantas e animais, a propagação das epidemias e, porque não, analisar a economia do país. Tudo isso é possível com ajuda do cálculo infinitesimal. É, a matemática tem evoluído, agora já podemos dizer que “matemática tornou-se o estudo dos números, da forma, do movimento, da mudança e do espaço”. O século XX foi marcado pela explosão do conhecimento matemático.
O desenvolvimento causado pelo uso da matemática em áreas de tecnologia computacional foi um grande avanço na melhoria da qualidade de vida, facilitando o desenvolvimento da medicina, das ciências biológica, das engenharias, da astronomia, etc. Para efeito de curiosidade, no início do século passado, todo o conhecimento matemático caberia em cerca de 1.000 livros, cem anos depois (ano 2000), estima-se que para concentrar todo o conhecimento matemático existente seriam necessários 100.000 livros. Todo esse aumento se deve a utilização da matemática como uma ferramenta, que estuda fenômenos de qualquer natureza, e cria padrões para representa-los. Agora, em pleno século XXI, se perguntarem a você “o que é matemática e para que serve?”, não terá que responder “é somente números, não serve para nada!”. Poderá erguer a cabeça e dizer: “Matemática, no decorrer da história, tornou-se o estudo dos números, da forma, do movimento, da mudança, do espaço e das ferramentas matemáticas que são usadas nesse estudo”; ou poderá dizer de forma resumida que matemática é a “ciência dos padrões”. Segundo Keith Devlin, “onde os demônios espreitam os matemáticos trabalham”. Refletindo que a matemática não é assustadora, mas desafiadora.
Ambas são ciências que lidam com o abstrato , a primeira refere-se a uma ciência humana, a segunda, uma ciência quântica, ambas preocupadas em melhorar significantemente o bem estar do homem. É isso que elas tem em comum, o estudo do abstrato de modo que quando o real aparece é para beneficiar o seu criador. Criador e criatura se confundem. Matemática e Economia se interligam de forma hârmonica, uma respeitando a individualidade da outra e as duas em benefício do homem.
Elaine Cristina Maranhão.